冯文慈先生八十华诞庆祝活动参会论文
    一
    管子律数是中国古代音乐史料中的重要人文技术数据，两千多年来，被许多史家反复转述。这套数据的深层律学蕴涵，却久久未能彰显。经过当代律学方法解读，已能达到前人未知的深度，对于调式理论与和声学功能理论的照耀，超越了欧洲作曲技术理论的视野。在中国古代音乐史的讲义中，可否开启这盏贯通古今的探照灯呢？
    古琴琴面上的徽位，虽然晚至东汉末期才有“徽以锺山之玉”的记载，但徽位在音乐实践层面的存在应可追溯到先秦。“徽”这个形声字，从，而非从玉(从玉的并非“徽”字，而是“特征”的“征”字的繁体本字“徵”)，这说明，“徽”这一部件在使用之初，是用丝线捆扎在琴体上的；由此可以理解，为什么当今出土的先秦五弦器上找不到“徽”的痕迹，因而，这一考古事象也不能证明先秦的奏琴实践中不存在徽位。徽位的历史发展，经过了从少到多(最后稳定于13这个数)、从无标记到有标记、从丝标记到玉标记的过程，这是可以设想的。发展过程的具体时段年代，可以留给音乐史家们去探寻，这方面还找不到现成的答案，并不影响每一个学习中国古代音乐史的学生清晰地理解“十三徽”的数理内涵，各徽位如何将“龙龈至岳山”全长作若干等分这一套人文技术数据。更值得注意的是，十三徽所包含的某些位置有选择地构成的系列，恰恰能跟意大利人Zarlino(1517-1590，在欧洲被尊为“和声学之父”)所提出的两种“六数列”相吻合，因而，在调式、和声、功能的数学原理方面与近现代的大小三和弦与大小调概念一线贯通。在此是否又可觉察到，在中国古代音乐史的讲义中可以开启另一盏贯通古今的探照灯呢？
    二
    提起管子律数，这5个数是历来人所共知的：
    徵 羽 宫 商 角
    108 96 81 72 64
    挖掘这套数据的深层律学内涵，拟采取如下步骤：
    第一步，写出各律的半律乃至“半之半”，把这音阶延伸到两组又两个音(共12个律位)的范围。
    
    第三步，在每一行里，把行首的整数留在括号之外，把分数单位放进括号之内进行分配乘，所得各项进行约分，化成最简分数(不要化成小数)。结果如下：
    宫调式结构：
    
    羽调式结构：
    
    
    在每一个音符下方写明从括号里所取出的那个数值(这些数值现在已被确认为“相对波长”)及其所对应的阶名(这些阶名仍然承续《管子》的传统)；在每一个音符顶上注明校正值(按自然音程应当高于或低于国际通用的十二平均律律制的全音数，高于者写明“+”若干全音，低于者写明“-”若干全音)。
    
    第五步，建立五个调式的同主音综合观念。在相邻调式的相异音级之间标以不等号，写作。
    
    三
    做完以上五步，管子律数的深层律学内涵从本质到现象都已了如指掌。在这基础上，能否进行一些概括性的理论思考呢？
    试作如下四点思考：
    第一点，观察相对波长连比式内各项数值的逻辑关系，概括出两类色彩的数理界定。
    注视徵调式音阶的上半截从2/3到1/2这三阶，可见到：
    
    发现很容易使各项分子数取得一致(这样做，称为“倒通分”)，并把各项共有的分子数作为公因数提取出来：
    
    观察括号内的三阶音列：两端两音构成的框架记谱写作纯四度，从调式结构本身的各阶排序来看是“纯三阶”框架；框架内插进的那阶决定了调式的色彩，这色彩可称为“徵调类色彩”，其数理界定是1/27。
    “以徵调类色彩填充的纯三阶框架”作为基本部件，可以安装在不同的部位，使色彩的浓淡有所变化。刚才观察到的“纯三阶”框架，是主功能的(比式内的1/32或1/4对准主音)，在这部位的框架，简称“主环”；它可以移位成下属功能的(令比式内的1/32或1/4对准下属音)，简称“下属环”，也可以移位成属功能的(令比式内的1/32或1/4对准属音)，简称“属环”。
    
    在此应及时确认，下属功能的数理标志是3。
    安装在这个部位的微调类色彩(单徵色彩)，色调较淡，它是商调式里的一个部件，也是同主音的徵、商两调式共有的部件。
    以徵调类色彩填充属环，作律学投影。由于比式内的1/32对准属音的相对波长2/3，括弧左边必须乘以1/3。
    
    在此应及时确认，属功能的数理标志是1/3。
    
    发现很容易通分，并把各项共有的分数单位作为公因数提取出来：
    
    观察括号内的三阶音列：两端两音构成的框架(32∶24=4∶3)记谱写作纯四度，从调式结构本身的各阶排序来看是“纯三阶”框架；框架内插进的那阶决定了调式的色彩，这色彩可称为“羽调类色彩”，其数理界定是27。
    “以羽调类色彩填充的纯三阶框架”作为基本部件，也可以安装在不同的部位而使色彩的浓淡有所变化。
    刚才观察到的“纯三阶”框架，是下属功能的(比式内的24或3对准下属音)。在此我们遇到了表述形式方面的一个小小的矛盾：上文分析过并及时确认过，下属功能的数理标志是3，可是，在这里，装着下属环框架的括号左边并未出现数字“3”。这令我们追问：怎么样使得这下属环的数理表述形式具备下属功能的数理标志“3”呢？回答是：同时填写两个数字，在括号左边写“3”，在括号右边写“1/3”：
    
    左边的“3”，担当“下属功能数理标志”的角色，右边的“1/3”担当的又是什么角色呢？这“1/3”并非功能标志，而是一个“用以确指根音所在的抵消因子”。请注意，当下属环框架写作“32∶24”时，根音所对应的数值是24，24内含因数3；倘若把32∶24化简为4∶3，根音所对应的数值仍然摆脱不了因数3。含因数3这件事使得根音的身份不能明显表露。现在我用括号右边的乘数1/3把那因数3抵消，就指明，跟这项目对应的位置是根音所在。
    请看以这方式表述的律学投影：
    
    这里观察到的处于下属部位的框架，可以移位成主功能的(令比式内具有根音身份的项目24对准主音)，也可以移位成重下属功能的(令比式内具有根音身份的项目24对准重下属音)，简称“重下属环”。
    以羽调类色彩填充主环，作律学投影。令比式内具有根音身份的项目24对准主音。括弧左边，主功能的数理标志1省略不写。
    
    安装在这个部位的羽调类色彩(单羽色彩)，色调较淡，它是商调式里的一个部件，也是同主音的羽、商两调式共有的部件。
    商调式就是兼有单徵、单羽色彩，使两类色彩相混合而形成的调式。
    以羽调类色彩填充重下属环，作律学投影。由于比式内具有根音身份的项目24对准重下属音的相对波长9/16，括弧左边必须乘以9。
    
    在此应及时确认，重下属功能的数理标志是9(=3×3)。
    安装在这个部位的羽调类色彩，色调较浓。在此见到，角调特征音([b]b[1]-.04)是羽调类色彩加浓的产物。
    四
    理论思考的第二点。
    观察同主音综合观念各处相对波长数值内的非2因数，不难发现：在宫调式和徵调式里，除了主音和下属音以外，绝大多数相对波长数值里，分母含因数3；在羽调式和角调式里，除了主音和属音以外，绝大多数相对波长数值里，分子含因数3。
    试问：分母含因数3表明什么？分子含因数3表明什么？
    问题的回答涉及各调式内各阶的功能规定性。
    上文既已辨明，1/3是属功能的数理标志。由此不难推断“分母含因数3”这件事的和声功能动力意义。可以依据分母数内所含的因数3的次数来判定属功能动力的强度等级。
    预先明确：
    9=3×3(3底2次幂)
    27=3×3×3(3底3次幂)
    81=3×3×3×3(3底4次幂)
    在同主音综合观念里我们所见到的对应关系告诉我们：
    
    上文又已辨明，3是下属功能的数理标志。由此不难推断“分子含因数3”这件事的和声功能动力意义。可以依据分子数内所含的因数3的次数来判定下属功能动力的强度等级。在同主音综合观念里我们所见到的对应关系又告诉我们：
    
    这些本质规定性如何不同于自然大小调各音级的功能秉性，也就告诉我们，“三分三倍调式体系”的旋律对于和声配置有如何独特的功能要求。
    这样独特的功能要求，有可能实现吗？
    只要设置一定的条件，就有可能实现。
    在诸多样式的和声条件中，“连环”的和音结构是最为简明易懂、简便易行的。
    连环和音的数理表述形式，属功能与下属功能有所不同。
    属功能的“双环”与“三环”，表述为分数单位连比式，从始发环向上展开。
    
    请看它们的律学投影：
    
    下属功能的“双环”与“三环”，表述为自然数连比式，从始发环向下展开。
    
    请看它们的律学投影：
    
    下属功能的双环、三环和音，通常的用法是把下属音(具有根音身份)置于低音声部，而动力更强的阶则位于主旋律或陪伴主旋律的内声部。在这条件下，和音各声部的相对波长连比式呈现为如下数值：
    
    角调特征音——四重下属音(分子数含81)，则可用由重下属环始发向下展开而构筑成的三环和音来配置：
    
    五
    理论思考的第三点。
    观察同主音综合观念，见到相邻两调式的相异音级相差半音。问：这种半音是什么性质的呢？
    要探明这种半音的律学本质，只消把两音的相对波长数值相除。
    在同主音综合观念图表里，可见到四处不等号。下文逐一考察。
    第一处不等号，上方那行里的是宫调特征音([#]f[1]+.04)，下方那行里的是下属音(g[1]-.01)。
    
    第二处不等号，上方那行里的是徵调浓色彩音(b[1]+.03)，下方那行里的是单羽色彩音(c[2]-.02)。
    
    第三处不等号，上方那行里的是单徵色彩音(e[1]+.02)，下方那行里的是羽调浓色彩音(f[1]-.03)。
    
    第四处不等号，上方那行里的是属音(a[1]+.01)，下方那行里的是角调特征音([b]b[1]-.04)。
    
    四处计算结果全都一样，相除所得的音程系数是256/243，相减所得的音程值是0.45全音。
    这种半音，缪天瑞先生的《律学》一书里早就介绍过，古希腊称之为Limma(长度比是256∶243)，缪先生自己曾称之为“古代小半音”。
    现在要进一步阐明的，是它的乐学意义。
    当不等号的下方那行里的音被旋律音调确立为宫阶时，上方那行里比它低半音的音一出现，就被感知为“变宫”，乐学意义说的是：“把宫阶改低半音的变化”。
    当不等号的上方那行里的音被旋律音调确立为角阶时，下方那行里比它高半音的音一出现，就被感知为“清角”，乐学意义说的是：“把角阶改高半音的变化”。
    可见，在乐学上我们应当确认，从“三分三倍调式体系”本身固有的结构这一视角来看，这种半音是使某一个阶发生音高变化的半音，是“变化半音”。
    可是由于当代通用的记谱形式把“变宫—宫”、“角—清角”这样的音程记成了两个不同音位的音符，在基础乐理课程里就被认作“小二度”，解释成“自然半音”了。这是深重的误解，亟待纠正。
    其实，真正的自然半音，在自然大小调音阶里通常遇到的自然半音，音程系数是16/15(简单得多)，音程值是0.56全音(比平均律半音大些)。本文第十二节将表明这音程的由来。又一遗憾的是，当代通用的乐理教科书并没有把这项基础知识告诉学生。
    缺漏要补，误解待纠，两件事加在一起，难度就更大了。
    六
    理论思考的第四点。
    观察同主音综合观念里的宫调式第三阶([#]f[1]+.04)与羽调式第二阶(f[1]-.03)，两者相比较；观察徵调式第五阶(b[1]+.03)与角调式第四阶([b]b[1]-.04)，两者相比较。可发现另一种半音关系。问：这种半音是什么性质的呢？
    要探明这种半音的律学本质，只消把两音的相对波长数值相除。
    第一处，宫调特征音([#]f[1]+.04)与羽调浓色彩音(f[1]-.03)。
    
    第二处，徵调浓色彩音(b[1]+.03)与角调特征音([b]b[1]-.04)。
    
    两处计算结果相同，相除所得的音程系数是2187/2048，相减所得的音程值是0.57全音。
    这种半音，缪天瑞先生的《律学》一书里早就介绍过，古希腊称之为Apotome(长度比是2187∶2048)，缪先生自己曾称之为“古代大半音”。
    现在要进一步阐明的是它的乐学意义。
    为了便于理解，我们假设音调背景是商调式的音调(仍假设以D为主音，参看同主音综合观念的第三行)。在D商调式的音调背景上插进[#]f[1]+.04这个音律(参看同主音综合观念的第一行)，它就被感知为“变徵”，乐学意义说的是：“把徵阶改低半音的变化”。在D商调式的音调背景上插进f[1]-.03这个音律(参看同主音综合观念的第四行)，它就被感知为“清角”，乐学意义说的是：“把角阶改高半音的变化”。请注意，这里涉及了两个不同的阶：较高的徵阶发生改低半音的变化，较低的角阶发生改高半音的变化，两阶就挨得特别近了。再来看另一处。在D商调式的音调背景上插进b[1]+.03这个音律(参看同主音综合观念的第二行)，它就被感知为“变宫”，乐学意义说的是：“把宫阶改低半音的变化”；在D商调式的音调背景上插进[b]b[1]-.04这个音律(参看同主音综合观念的第五行)，它就被感知为“清羽”，乐学意义说的是：“把羽阶改高半音的变化”。这里同样涉及了两个不同的阶：较高的宫阶发生改低半音的变化，较低的羽阶发生改高半音的变化，两阶就挨得特别近了。
    可见，“清角—变徵”、“清羽—变宫”这样的半音，是“二阶”的变形。
    原先，“角—徵”、“羽—宫”这样的“二阶”，是“疏二阶”。较常见的变形是形成全音关系，“角—变徵”、“羽—变宫”这样的二阶，成为“密二阶”。较不常见的另一种变形也形成全音关系，“清角—徵”、“清羽—宫”这样的二阶，变成的也是“密二阶”。更为罕见的变形才形成半音关系，“清角—变徵”、“清羽—变宫”这样的二阶，就变成了“过密二阶”。
    令人深为抱憾的是，“过密二阶”这样的乐理概念，在有关“三分三倍调式体系”的乐学理论教程里从未建立过。其原因想必是，记谱形式挡住了理论视角的视线，人们从记谱见到的是：“Fa和升Fa——增一度”、“降Si和Si——增一度”。这又是另一种深重的误解，这误解既损伤了对民间旋律旋宫技法进行分析的准确度，也影响了旋律写作技法对民族风格掌握的完整纯熟。

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